微分積分例

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

ステップ 1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

ステップ 1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

ステップ 1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.7.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 2.3

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

ステップ 2.7.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 2.10

$\frac{2}{3}$ に $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.11

掛け算します。

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ステップ 2.11.1

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

ステップ 2.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 4.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

ステップ 4.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 5.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

ステップ 6.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{1} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 x = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x = 0$

ステップ 6.3.3

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 6.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 6.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{27}$

ステップ 6.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 9.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

ステップ 9.3.2

$9$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2}{0}$

ステップ 9.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{2}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.2

最終的な答えは $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 10.3.2.2

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 10.3.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 10.3.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 10.3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

ステップ 10.3.2.2.4

$3$ から $1$ を引きます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ です。

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 10.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例