微分積分例

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = 4 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 4 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $4 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u = 4 + x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 4 + 1$

ステップ 2.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 5$

ステップ 2.4

$u = 4 + x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4 + 4$

ステップ 2.5.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2

式を書き換えます。

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.3

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$8$ および $5$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{2}{3}$ と $8^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.3

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.3.2

$3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.2.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.7

$2$ と $9$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.2.8

$5^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

ステップ 7.2.9

$2$ を $5^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

10進法形式：

$7.63138474 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例