微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{6} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.5

$\frac{- 4}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{2}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 (2 x)$

ステップ 1.1.1.4.3

$2$ に $- 36$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.4

$- 3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.5

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.6

$\frac{- 6}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.7

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.7.1

$3$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2.4

$- 2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 24 x - 72$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ です。

$- 2 x^{2} + 24 x - 72$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 2$ を $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$- 2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 2$ を $24 x$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 72 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$- 2$ を $- 72$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$- 2$ を $- 2 (x^{2}) - 2 (- 12 x)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$- 2$ を $- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 (36)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

ステップ 1.2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$- 2 (x^{2} - 12 x + 6^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

ステップ 1.2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- 2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.2.4

$a = x$ と $b = 6$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.3

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

${(x - 6)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

${(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 1.2.5

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 6)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 24 (0) - 72$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 24 (0) - 72$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 24 (0) - 72$

ステップ 4.2.1.3

$24$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 - 72$

ステップ 4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 - 72$

ステップ 4.2.2.2

$0$ から $72$ を引きます。

$f'' (0) = - 72$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 72$ です。

$- 72$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 6)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 6)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(6, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{2} + 24 (8) - 72$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = - 2 \cdot 64 + 24 (8) - 72$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ に $64$ をかけます。

$f'' (8) = - 128 + 24 (8) - 72$

ステップ 5.2.1.3

$24$ に $8$ をかけます。

$f'' (8) = - 128 + 192 - 72$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 128$ と $192$ をたし算します。

$f'' (8) = 64 - 72$

ステップ 5.2.2.2

$64$ から $72$ を引きます。

$f'' (8) = - 8$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 5.3

$f'' (8)$ が負なので、区間 $(6, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 6)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例