微分積分例

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 5 x^{3} + 1$ とします。次に $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 5 x^{3} + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$5 x^{3} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $5 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$15 x^{2} + 0$

ステップ 2.1.4.2

$15 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$15 x^{2}$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ に $\frac{1}{15}$ をかけます。

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

ステップ 3.2

$15$ を $3 - e^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{15}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{15}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

ステップ 5

$\frac{1}{15}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ とします。次に $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$3 - e^{u_{1}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

ステップ 6.1.2

微分します。

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ステップ 6.1.2.1

総和則では、 $3 - e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

ステップ 6.1.2.2

$3$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- e^{u_{1}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ です。

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

ステップ 6.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 - e^{u_{1}}$

ステップ 6.1.4

$0$ から $e^{u_{1}}$ を引きます。

$- e^{u_{1}}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

ステップ 10.2

$\frac{2}{15}$ と $\ln (| u_{2} |)$ をまとめます。

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{2}$ のすべての発生を $3 - e^{u_{1}}$ で置き換えます。

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

ステップ 11.2

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x^{3} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$

微分積分 例

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