微分積分例

$lim_{x \to 0} {(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$ を $e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{4}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

ステップ 2.2

$\frac{4}{x}$ と $\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

ステップ 2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{4 \frac{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$e^{4 \frac{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.1.4

指数に極限を移動させます。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.1.5

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$e^{4 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 - e^{\frac{x}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 - e^{\frac{x}{2}}$ とします。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 - e^{\frac{x}{2}}$ で置き換えます。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $2 - e^{\frac{x}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ です。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ をたし算します。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{\frac{x}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ です。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.8

$\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ と $e^{\frac{x}{2}}$ をまとめます。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.9

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.10

$\frac{1}{2}$ に $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ をかけます。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{4 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

ステップ 4.4

指数に極限を移動させます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

ステップ 4.5

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

ステップ 4.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

ステップ 4.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

ステップ 4.8

指数に極限を移動させます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}}$

ステップ 4.9

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 4 (\frac{1}{2}) \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

ステップ 6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$e^{2 (- 2) \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$e^{2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$e^{- 2 \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{e^{0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

ステップ 6.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

ステップ 6.4

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{0}}}$

ステップ 6.4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}}$

ステップ 6.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1}}$

ステップ 6.4.4

$2$ から $1$ を引きます。

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

ステップ 6.5

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

共通因数を約分します。

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

ステップ 6.5.2

式を書き換えます。

$e^{- 2 \cdot 1}$

ステップ 6.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2}$

ステップ 6.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{2}}$

微分積分 例

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