微分積分例

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[1, 7]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{3}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{3}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[1, 7]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

ステップ 5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$7$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

ステップ 7.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $7$ の間の距離は $7$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

ステップ 7.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

ステップ 7.3.3

$7$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

ステップ 8

$7$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

ステップ 9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

ステップ 9.2

$3$ を $3 \ln (7)$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

ステップ 9.3

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

ステップ 9.4

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

ステップ 10

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ を簡約します。

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例