微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

ステップ 1.1.3.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

ステップ 1.1.3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

ステップ 1.1.3.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}$

ステップ 1.1.3.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 1.1.3.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 1.1.3.8

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.8.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 1.1.3.8.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 + 0}}$

ステップ 1.1.3.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.9.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{\sqrt{1} - \sqrt{1 + 0}}$

ステップ 1.1.3.9.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

ステップ 1.1.3.9.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

ステップ 1.1.3.9.1.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.9.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.9.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.9.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.10

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x}$ を ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.3

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.11

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.12

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.13

$\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.4.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.5.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.5.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])}$

ステップ 1.3.5.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}$

ステップ 1.3.5.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}$

ステップ 1.3.5.4

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

ステップ 1.3.5.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

ステップ 1.3.5.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

ステップ 1.3.5.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.5.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.5.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.5.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.5.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.5.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.5.12

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.5.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

ステップ 1.3.5.14

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

ステップ 1.3.5.15

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

ステップ 1.3.5.16

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

ステップ 1.3.5.17

$- 1$ を ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 1.3.5.18

$- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 1.3.5.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.3.5.20

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.3.5.21

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.3.5.22

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 + x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4.2

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 - x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.7

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.8

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.9

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.10

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.11

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.12

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}}$

ステップ 2.13

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}}$

ステップ 2.14

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}}$

ステップ 2.15

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}}$

ステップ 4.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

ステップ 4.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

ステップ 4.3.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{1 + 1}{2}}$

ステップ 4.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.3.7

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.4

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

微分積分例