微分積分例

$\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

ステップ 1

$\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \cos^{2} (x) \cdot \sin (x) d x$

ステップ 4

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - u^{2} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u^{2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 7

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

微分積分 例