微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 2 x - 3 + 0$

ステップ 1.5.2

$x^{2} - 2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 2 x - 3$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x - 2 + 0$

ステップ 2.3.2

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x - 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 2 x - 3 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$x^{2} - 2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 3$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 2 x - 3$ です。

$x^{2} - 2 x - 3$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

ステップ 5.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 5.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 5.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.6

最終解は $(x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 3, - 1$

ステップ 8

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (3) - 2$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 - 2$

ステップ 9.2

$6$ から $2$ を引きます。

$4$

ステップ 10

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 11

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1.1

$3$ を ${(3)}^{3}$ で因数分解します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

ステップ 11.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

ステップ 11.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (3) = 3^{2} - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

ステップ 11.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 9 - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

ステップ 11.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 9 - 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 4$

ステップ 11.2.1.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 9 - 9 - 3 \cdot 3 + 4$

ステップ 11.2.1.5

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 9 - 9 - 9 + 4$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f (3) = 0 - 9 + 4$

ステップ 11.2.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$f (3) = - 9 + 4$

ステップ 11.2.2.3

$- 9$ と $4$ をたし算します。

$f (3) = - 5$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$y = - 5$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (- 1) - 2$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 2$

ステップ 13.2

$- 2$ から $2$ を引きます。

$- 4$

ステップ 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2.1.4

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + (- 1) {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{1 + 2} - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2.1.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2.1.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 - 3 \cdot - 1 + 4$

ステップ 15.2.1.6

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 + 3 + 4$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 15.2.2.1

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} + 3 + 4$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 + 4$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 3 + 4$

ステップ 15.2.2.4

$3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} + 4$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{3}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

ステップ 15.2.2.6

$\frac{3}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 4$

ステップ 15.2.2.7

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

ステップ 15.2.2.8

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 15.2.2.9

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 12}{3}$

ステップ 15.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 1$ から $3$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{- 4 + 9 + 12}{3}$

ステップ 15.2.5.2

$- 4$ と $9$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{5 + 12}{3}$

ステップ 15.2.5.3

$5$ と $12$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{17}{3}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{17}{3}$ です。

$y = \frac{17}{3}$

ステップ 16

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$ の極値です。

$(3, - 5)$ は極小値です

$(- 1, \frac{17}{3})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例