微分積分例

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(5 i - 2) (i + 3)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

ステップ 1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

指数を足して $i$ に $i$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1.1.1

$i$ を移動させます。

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

ステップ 1.2.1.1.2

$i$ に $i$ をかけます。

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

ステップ 1.2.1.2

$3$ に $5$ をかけます。

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

ステップ 1.2.1.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

ステップ 1.2.2

$15 i$ から $2 i$ を引きます。

$5 i^{2} + 13 i - 6$

ステップ 1.3

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

ステップ 3

$5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$50$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$50$ に $51$ をかけます。

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2.2

$2$ に $50$ をかけます。

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.3

$100$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2550$ に $101$ をかけます。

$5 (\frac{257550}{6})$

ステップ 3.3.2.2

$257550$ を $6$ で割ります。

$5 \cdot 42925$

ステップ 3.3.2.3

$5$ に $42925$ をかけます。

$214625$

ステップ 4

$13 \sum_{i = 1}^{50} i$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$50$ と $1$ をたし算します。

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

ステップ 4.3.2

$50$ に $51$ をかけます。

$13 (\frac{2550}{2})$

ステップ 4.3.3

$2550$ を $2$ で割ります。

$13 \cdot 1275$

ステップ 4.3.4

$13$ に $1275$ をかけます。

$16575$

ステップ 5

$\sum_{i = 1}^{50} - 6$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(- 6) (50)$

ステップ 5.3

$- 6$ に $50$ をかけます。

$- 300$

ステップ 6

合計した結果を足します。

$214625 + 16575 - 300$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$214625$ と $16575$ をたし算します。

$231200 - 300$

ステップ 7.2

$231200$ から $300$ を引きます。

$230900$

微分積分 例

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