微分積分例

$f (x) = x^{2} e^{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{2} e^{x} d x$

ステップ 3

$u = x^{2}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

ステップ 5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

ステップ 6

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

ステップ 8

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ を $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ に書き換えます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

微分積分 例