微分積分例

$y = 3^{4 x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{4 x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 3^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$3^{4 x} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3^{4 x} \ln (3) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3^{4 x} \ln (3) (4 \cdot 1)$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$3^{4 x} \ln (3) \cdot 4$

ステップ 3.2.3.2

$4$ を $3^{4 x} \ln (3)$ の左に移動させます。

$4 \cdot 3^{4 x} \ln (3)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4 \cdot (3^{4 x} \ln (3))$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot (3^{4 x} \ln (3))$

微分積分 例