微分積分例

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $9$ に近づくと定数である $162$ の極限値を求めます。

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 9^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 \cdot 81 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ に $81$ をかけます。

$\frac{162 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $162$ をかけます。

$\frac{162 - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.2.3.2

$162$ から $162$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

ステップ 1.1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

ステップ 1.1.3.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 18}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $9$ に近づくと定数である $18$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $9$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{9} - 1 \cdot 18}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 18}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{9 + 9 - 1 \cdot 18}$

ステップ 1.1.3.6.1.4

$- 1$ に $18$ をかけます。

$\frac{0}{9 + 9 - 18}$

ステップ 1.1.3.6.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{0}{18 - 18}$

ステップ 1.1.3.6.3

$18$ から $18$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 x^{2} - 162$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3.4

$- 162$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 162$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3.5

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x + 3 \sqrt{x} - 18$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.10

$3$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.8.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

ステップ 1.3.9

$- 18$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 18$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 1.3.10

$1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 1.5

項をまとめます。

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ステップ 1.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 1.5.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 9} \frac{x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.2

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.4

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

ステップ 2.7

根号の下に極限を移動させます。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

ステップ 2.8

$x$ が $9$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

ステップ 2.9

根号の下に極限を移動させます。

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $9$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

ステップ 3.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

ステップ 3.3

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{9}}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 3}{\sqrt{9}}}$

ステップ 4.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{\sqrt{9}}}$

ステップ 4.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 3}{\sqrt{9}}}$

ステップ 4.1.4

$6$ と $3$ をたし算します。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{9}}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{3^{2}}}}$

ステップ 4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{3}}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{9}{3}$ をかけます。

$4 \frac{9}{\frac{9}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$4 \frac{9}{\frac{9}{6}}$

ステップ 4.5

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$4 \frac{9}{\frac{3 (3)}{6}}$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

ステップ 4.5.2.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

ステップ 4.5.2.3

式を書き換えます。

$4 \frac{9}{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$4 (9 (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$4 (3 (3) \frac{2}{3})$

ステップ 4.7.2

共通因数を約分します。

$4 (3 \cdot 3 \frac{2}{3})$

ステップ 4.7.3

式を書き換えます。

$4 (3 \cdot 2)$

ステップ 4.8

$3$ に $2$ をかけます。

$4 \cdot 6$

ステップ 4.9

$4$ に $6$ をかけます。

$24$

微分積分 例

微分積分例