微分積分例

$y = \arccos (3 x - 5)$

ステップ 1

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = 3 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arccos (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 5$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 + 0)$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} \cdot 3$

ステップ 2.6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$

ステップ 2.6.3

$- 3$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$

ステップ 2.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$

微分積分 例