微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 4

$u = 6 x + 1$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 6 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$6 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{6} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$- \int \frac{1}{u^{2} \cdot 6} d u$

ステップ 5.2

$6$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$- \int \frac{1}{6 u^{2}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{6} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 7.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{6} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{6} \int u^{- 2} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$ を $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{u} + C$

ステップ 9.2.2

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{u} + C$

ステップ 9.2.3

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{u}$ をかけます。

$\frac{1}{6 u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $6 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$

微分積分 例

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