微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x + 3 x^{2}}}{- 4 x + 1}$

ステップ 1

$x$ を $x + 3 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{1} + 3 x^{2}}}{- 4 x + 1}$

ステップ 1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + 3 x^{2}}}{- 4 x + 1}$

ステップ 1.3

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + x (3 x)}}{- 4 x + 1}$

ステップ 1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (3 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (1 + 3 x)}}{- 4 x + 1}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $- \sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{\frac{- 4 x}{x} + \frac{1}{x}}$

ステップ 3

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 5.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 5.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 7.1.2

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 7.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 7.4

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 9.2

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

ステップ 9.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{- lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 9.4

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{- 1 \cdot 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{- 4 + 0}$

ステップ 11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$0 + 3$ を $1$ で割ります。

$\frac{- \sqrt{0 + 3}}{- 4 + 0}$

ステップ 11.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{3}}{- 4 + 0}$

ステップ 11.3

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{3}}{- 4}$

ステップ 11.4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

10進法形式：

$0.43301270 \dots$

微分積分 例

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