微分積分例

$\int_{e}^{4} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (e)$

ステップ 1.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (4)$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (4)$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\ln (4)} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{1}^{\ln (4)}$

ステップ 3

$\ln (4)$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\ln (| \ln (4) |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \ln (4) |}{| 1 |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (4)$ は約 $1.38629436$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\ln (4)}{| 1 |})$

ステップ 5.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{\ln (4)}{1})$

ステップ 5.3

$\ln (4)$ を $1$ で割ります。

$\ln (\ln (4))$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\ln (4))$

10進法形式：

$0.32663425 \dots$

微分積分 例

微分積分例