微分積分例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + 7 x - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.4

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.2.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1^{2}}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{1}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.4

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 + \frac{1 + 7}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.3

$1$ と $7$ をたし算します。

$\frac{- 4 + \frac{8}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.4

$8$ を $2$ で割ります。

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.2.7.5

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 x^{2} + 7 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.4.3

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.6

$4 x + 7$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + 0}$

ステップ 1.3.10

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + 7$

ステップ 2.2

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

ステップ 2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

ステップ 2.4

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 7)$

ステップ 3

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 (\frac{1}{2}) + 7)$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (2) \frac{1}{2} + 7)$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 2 \frac{1}{2} + 7)$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 + 7)$

ステップ 4.2

$2$ と $7$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{9}{2}$

10進法形式：

$4.5$

微分積分 例

微分積分例