微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{2 x + 1}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 2.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 2.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 2.7

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 4.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + 0}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

ステップ 6.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

ステップ 6.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2 + 0}$

ステップ 6.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例