微分積分例

$\ln ({(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ とします。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 \frac{x + 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

ステップ 3

$2$ と $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

ステップ 4

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.4.2

$2 x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.5

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.8

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 5.10.3

$\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1}$ に $\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 6

指数を足して $2 x - 1$ に ${(2 x - 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 x - 1$ に ${(2 x - 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2 x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1 + 2}}$

ステップ 6.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

積の法則を $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ で割ります。

$1 \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.2

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.5

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.6

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (- 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.7

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) \cdot - 3}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.8

$- 3$ を $2 x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{- 3 \cdot (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 7.4.10

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ に $\frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ をかけます。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.11

$3$ を ${(2 x - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.12

${(2 x - 1)}^{2}$ と ${(2 x - 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.12.1

${(2 x - 1)}^{2}$ を $3 {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)$ で因数分解します。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 7.4.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.12.2.1

${(2 x - 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

ステップ 7.4.12.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

ステップ 7.4.12.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3 (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$2$ を $2 x + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$- \frac{3 (2 (x) + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 7.5.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{3 (2 (x) + 2 (1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 7.5.1.3

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{3 (2 (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

$- \frac{3 \cdot 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 7.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{6 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 7.6

$x + 1$ と ${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$x + 1$ を $6 (x + 1)$ で因数分解します。

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 7.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2} (2 x - 1)$ で因数分解します。

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

ステップ 7.6.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

ステップ 7.6.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{6}{(x + 1) (2 x - 1)}$

微分積分 例

微分積分例