微分積分例

$y = {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{7}$

ステップ 1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = \frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

ステップ 1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ で置き換えます。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = 3 x^{2} + 2$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2] - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ に $3$ をかけます。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + 0) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$6$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 \cdot (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

分数をまとめます。

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ステップ 3.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10.3

$\frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{(6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)) \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

ステップ 3.10.4

$7$ を $6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)$ の左に移動させます。

$\frac{7 \cdot (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ に当てはめます。

$\frac{7 (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 ((6 x + 6 \cdot 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (6 x \cdot x) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6

項をまとめます。

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ステップ 4.6.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 (6 (x^{1} x)) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 (6 (x^{1} x^{1})) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 (6 x^{1 + 1}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 (6 x^{2}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.5

$6$ に $7$ をかけます。

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.6

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.7

$6$ に $7$ をかけます。

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- 3 x^{2}) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.9

$- 3$ に $7$ をかけます。

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.10

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.11

$7$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.12

$42 x^{2}$ から $21 x^{2}$ を引きます。

$\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.13

$\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}}$ に $\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$ をかけます。

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{6}}$

ステップ 4.6.14

指数を足して ${(x + 1)}^{2}$ に ${(x + 1)}^{6}$ を掛けます。

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ステップ 4.6.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2 + 6}}$

ステップ 4.6.14.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{8}}$

ステップ 4.7

項を並べ替えます。

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (21 x^{2} + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

ステップ 4.8

$7$ を $21 x^{2} + 42 x - 14$ で因数分解します。

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ステップ 4.8.1

$7$ を $21 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

ステップ 4.8.2

$7$ を $42 x$ で因数分解します。

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

ステップ 4.8.3

$7$ を $- 14$ で因数分解します。

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

ステップ 4.8.4

$7$ を $7 (3 x^{2}) + 7 (6 x)$ で因数分解します。

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

ステップ 4.8.5

$7$ を $7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x - 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} \cdot 7 (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$

ステップ 4.9

$7$ を ${(3 x^{2} + 2)}^{6}$ の左に移動させます。

$\frac{7 {(3 x^{2} + 2)}^{6} (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$

微分積分 例

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