微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $4$ に近づくと定数である $128$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{64 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{64 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{64 \cdot 2 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.7.1.4

$64$ に $2$ をかけます。

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.7.1.5

$- 1$ に $128$ をかけます。

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.7.2

$128$ から $128$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{3} \sqrt{x} - 128$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2.5.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.3

$n = \frac{7}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.7.2

$7$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4

$- 128$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 128$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.5.2

$\frac{7}{2}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

ステップ 1.5

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{7}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7}{2} lim_{x \to 4} x^{\frac{5}{2}}$

ステップ 2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{5}{2}$ を $x^{\frac{5}{2}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 4} x)}^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{7}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7}{2} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

ステップ 4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{7}{2} \cdot 2^{5}$

ステップ 4.4

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{7}{2} \cdot 32$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$\frac{7}{2} \cdot (2 (16))$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 16)$

ステップ 4.5.3

式を書き換えます。

$7 \cdot 16$

ステップ 4.6

$7$ に $16$ をかけます。

$112$

微分積分 例

微分積分例