微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$ を $e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

ステップ 3

$x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})$ を $\frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.2.2

$3$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.5.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.5.2.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.5.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{3 x}{3 x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3 x}{3 x + 1}$ とします。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3 x}{3 x + 1}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x}{3 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.4

$\frac{3 x + 1}{3 x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x}{3 x + 1}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.6

$3$ と $\frac{3 x + 1}{3 x}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.7.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.8

$f (x) = x$ および $g (x) = 3 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.10

$3 x + 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.11

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.12

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.14

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.15

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.16

$3$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.17

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.18

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.19

$0$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.20

$\frac{3 x + 1}{x}$ に $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.21

$3 x + 1$ と ${(3 x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.21.1

$1$ を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.21.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.21.2.1

$3 x + 1$ を $x {(3 x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.21.2.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.21.2.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.22

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 4.3.23

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 4.3.24

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (3 x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 4.5

$\frac{1}{x (3 x + 1)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (3 x + 1)}}$

ステップ 4.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

ステップ 4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

ステップ 4.6.2.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x}{3 x + 1}}$

ステップ 5

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1}}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.1.2

式を書き換えます。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.2.2

$3$ を $1$ で割ります。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{- \frac{1}{3 + 0}}$

ステップ 9

$3$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例