微分積分例

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{3 x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{3}{2} d x$ すると、 $\frac{2}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{3 x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{3 x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 1.2

$u = \frac{3 x}{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ を $3 \cdot 0$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

ステップ 1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

ステップ 1.3.1.2.4

$3 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 1.3.2

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \frac{3 x}{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

ステップ 1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{2}$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

ステップ 2.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

ステップ 2.3

$5^{u}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

ステップ 2.4

$2$ を $5^{u}$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

ステップ 4

$5^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ です。

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5

$\frac{2}{3}$ と $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{3}{2}$ および $0$ で $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ の値を求めます。

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

ステップ 6.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

ステップ 7.2

$2$ と $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 7.4

まとめる。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

ステップ 7.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

ステップ 7.6

$3$ を $\ln (5)$ の左に移動させます。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

10進法形式：

$4.21693387 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例