微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{6} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5

$\frac{- 4}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.4

$- 3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.5

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.6

$\frac{- 6}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.7

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.7.1

$3$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2.7.2.4

$- 2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x^{2} + 2$ です。

$- 2 x^{2} + 2$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 2 x^{2} = - 2$

ステップ 2.3

$- 2 x^{2} = - 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2 x^{2} = - 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$- 2$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

ステップ 3.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

ステップ 3.1.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

ステップ 3.1.2.2.3

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$f (1) = \frac{5}{6}$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $\frac{5}{6}$ です。

$\frac{5}{6}$

ステップ 3.2

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, \frac{5}{6})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, \frac{5}{6})$

ステップ 3.3

$- 1$ を $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

${(- 1)}^{4}$ を移動させます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

${(- 1)}^{4}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

ステップ 3.3.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

ステップ 3.3.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

ステップ 3.3.2.2.3

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $\frac{5}{6}$ です。

$\frac{5}{6}$

ステップ 3.4

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, \frac{5}{6})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, \frac{5}{6})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

ステップ 5.2.2

$- 2.42$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.42$ です。

$- 0.42$

ステップ 5.3

$- 1.1$ で二次導関数は $- 0.42$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 2$

ステップ 6.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f'' (0) = 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $2$ です。これは正の値なので、 $(- 1, 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1, 1)$ で増加

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

ステップ 7.2.2

$- 2.42$ と $2$ をたし算します。

$f'' (1.1) = - 0.42$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.42$ です。

$- 0.42$

ステップ 7.3

$1.1$ で二次導関数は $- 0.42$ です。これは負の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(1, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ です。

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例