微分積分例

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

ステップ 1.2

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

ステップ 1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

ステップ 1.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 5.1.2

$4$ を $- 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

ステップ 5.1.3

$4$ を $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

ステップ 5.1.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 5.1.5

$4 \cos^{2} (t)$ を ${(2 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

ステップ 5.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

ステップ 5.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

$\cos (t)$ を $\sin (t) (2 \cos (t))$ で因数分解します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

ステップ 5.2.1.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

ステップ 5.2.2

$2$ を $\sin (t)$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

ステップ 7.3

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

ステップ 8

$\csc (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ です。

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

ステップ 10

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$

微分積分 例

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