微分積分例

$y' - 2 y = 0$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 0$

ステップ 2

$P (x) = - 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- 2 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- 2 x}$ を掛けます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 0$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 0$

ステップ 3.3

$e^{- 2 x}$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 0$

ステップ 3.4

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 0$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 0$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 0 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- 2 x} y = \int 0 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$e^{- 2 x} y = 0 + C$

ステップ 7.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- 2 x} y = C$

ステップ 8

$e^{- 2 x} y = C$ の各項を $e^{- 2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- 2 x} y = C$ の各項を $e^{- 2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- 2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{- 2 x}}$

微分積分 例

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