微分積分例

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (y) = 1$ および $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 4.2

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2.4.2

$0$ から $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ を引きます。

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.3

$f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ および $g (y) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.8

分数をまとめます。

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ステップ 4.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.8.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9

総和則では、 $x - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.10

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.11

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.12

分数をまとめます。

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ステップ 4.12.1

$x'$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.12.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x'$ をまとめます。

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.13

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 4.14

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.15

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 4.15.1

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 4.15.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 4.15.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 4.15.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 6

$x'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ として書き換えます。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

ステップ 6.2

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

ステップ 6.3

両辺に $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ を掛けます。

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.4.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.4.1.1.3

${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.4.1.1.3.2

式を書き換えます。

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

微分積分 例

微分積分例