微分積分例

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 9 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

ステップ 1

$9$ は $θ$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

ステップ 2

$u = θ^{2}$ とします。次に $d u = 2 θ d θ$ すると、 $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = θ^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$θ^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 θ$

ステップ 2.2

$u = θ^{2}$ の $θ$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt{\frac{π}{2}}$ を $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

ステップ 2.3.3.6.5

指数を求めます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 2.3.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

ステップ 2.3.5

積の法則を $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ に当てはめます。

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ を $π \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.6.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{π \cdot 2}$ を ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 2.3.6.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 2.3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 2.3.6.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.1.4.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 2.3.6.1.4.2

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

ステップ 2.3.6.1.5

簡約します。

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

ステップ 2.3.6.2

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

ステップ 2.3.7

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

ステップ 2.3.8

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

ステップ 2.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.4

$u = θ^{2}$ の $θ$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

ステップ 2.5

${\sqrt{π}}^{2}$ を $π$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{π}$ を $π^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π^{1}$

ステップ 2.5.5

簡約します。

$u_{upper} = π$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

ステップ 3.2

$\frac{u}{2}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

ステップ 6

$w = u$ と $dv = \cos (u)$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

ステップ 7

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$π$ および $\frac{π}{2}$ で $u \sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

ステップ 8.2

$π$ および $\frac{π}{2}$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\sin (\frac{π}{2})$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

ステップ 8.3.2

$- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 8.3.3

$- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

ステップ 8.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

ステップ 8.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

ステップ 9.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

ステップ 9.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

ステップ 9.4

$- \cos (π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

ステップ 9.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

ステップ 9.6

$π \sin (π)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{9}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

ステップ 9.7

$π \sin (π)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

ステップ 9.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

ステップ 9.9

$2$ を $π \sin (π)$ の左に移動させます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

ステップ 9.10

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ をかけます。

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.11

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{9 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

ステップ 10.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{9 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

ステップ 10.3

$2 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

ステップ 10.3.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{9 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

ステップ 10.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{9 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

ステップ 10.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

ステップ 10.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{9 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

ステップ 10.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 (0 - π - 2)}{4}$

ステップ 10.8

$0$ から $π$ を引きます。

$\frac{9 (- π - 2)}{4}$

ステップ 10.9

分配則を当てはめます。

$\frac{9 (- π) + 9 \cdot - 2}{4}$

ステップ 10.10

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 9 π + 9 \cdot - 2}{4}$

ステップ 10.11

$9$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 9 π - 18}{4}$

ステップ 10.12

$- 1$ を $- 9 π$ で因数分解します。

$\frac{- (9 π) - 18}{4}$

ステップ 10.13

$- 18$ を $- 1 (18)$ に書き換えます。

$\frac{- (9 π) - 1 (18)}{4}$

ステップ 10.14

$- 1$ を $- (9 π) - 1 (18)$ で因数分解します。

$\frac{- (9 π + 18)}{4}$

ステップ 10.15

$- (9 π + 18)$ を $- 1 (9 π + 18)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (9 π + 18)}{4}$

ステップ 10.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9 π + 18}{4}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{9 π + 18}{4}$

10進法形式：

$- 11.56858347 \dots$

微分積分 例

微分積分例