微分積分例

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 3.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

ステップ 3.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

ステップ 3.2.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

ステップ 3.2.6.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{\frac{5}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ と $\frac{2}{7}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

ステップ 9.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

微分積分 例

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