微分積分例

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{1}{3} t^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.2.5.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 3.5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 3.5 t^{2}$ の微分係数は $- 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$t^{2} - 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} - 3.5 (2 t) + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 3.5$ をかけます。

$t^{2} - 7 t + \frac{d}{d t} [10 t]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d t} [10 t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $10 t$ の微分係数は $10 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$t^{2} - 7 t + 10 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} - 7 t + 10 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$10$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = t^{2} - 7 t + 10$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $t^{2} - 7 t + 10$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [- 7 t]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 7 t$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10]$

ステップ 2.2.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$2 t - 7 + \frac{d}{d t} [10]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$10$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$2 t - 7 + 0$

ステップ 2.3.2

$2 t - 7$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = 2 t - 7$

ステップ 3

$t$ に関する $S (t)$ の二次導関数は $2 t - 7$ です。

$2 t - 7$

微分積分 例

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