微分積分例

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 + e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ をたし算します。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{2 x + x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 6

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 10

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 11.2

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2

指数を足して $e^{2 x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} + e^{2 x + x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2.2

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + e^{3 x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 11.2.2

$e^{3 x}$ から $2 e^{3 x}$ を引きます。

$\frac{e^{x} - e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

微分積分 例

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