微分積分例

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{2}{15}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{15} x^{6}$ の微分係数は $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.3

$6$ と $\frac{2}{15}$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.4

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.5

$\frac{12}{15}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.6

$12$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$3$ を $12 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 x^{5}}{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{4}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.4.3

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{5}}{5}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.3

$5$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.4

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.5

$\frac{20}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.6

$20$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.6.1

$5$ を $20 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.6.2.4

$4 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$4 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.3.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$4 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 32 x^{3}$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

ステップ 1.2.4.3

$3$ に $- 32$ をかけます。

$f'' (x) = 4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ です。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4 x^{2}$ を $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$4 x^{2}$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x^{2}) - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4 x^{2}$ を $- 20 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) - 96 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4 x^{2}$ を $- 96 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x - 24) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x - 24$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $- 5$ です。

$- 8, 3$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 x^{2} ((x - 8) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 2.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.7

最終解は $4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 8, - 3$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\frac{2}{15}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 0 - 8 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.6

$- 8$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$8$ を $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot {(8)}^{6} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$8$ を $6$ 乗します。

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\frac{2}{15} \cdot 262144$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$\frac{2}{15}$ と $262144$ をまとめます。

$f (8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$2$ に $262144$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.3

$8$ を $5$ 乗します。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 1 \cdot 32768 - 8 {(8)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 1$ に $32768$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(8)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.5

$8$ を $4$ 乗します。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 \cdot 4096$

ステップ 3.3.2.1.6

$- 8$ に $4096$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

ステップ 3.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- 32768$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

ステップ 3.3.2.2.2

$\frac{- 32768}{1}$ に $\frac{15}{15}$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

ステップ 3.3.2.2.3

$\frac{- 32768}{1}$ に $\frac{15}{15}$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

ステップ 3.3.2.2.4

$- 32768$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

ステップ 3.3.2.2.5

$\frac{- 32768}{1}$ に $\frac{15}{15}$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

ステップ 3.3.2.2.6

$\frac{- 32768}{1}$ に $\frac{15}{15}$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

ステップ 3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

ステップ 3.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

$- 32768$ に $15$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

ステップ 3.3.2.4.2

$- 32768$ に $15$ をかけます。

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

ステップ 3.3.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

$524288$ から $491520$ を引きます。

$f (8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

ステップ 3.3.2.5.2

$32768$ から $491520$ を引きます。

$f (8) = \frac{- 458752}{15}$

ステップ 3.3.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (8) = - \frac{458752}{15}$

ステップ 3.3.2.6

最終的な答えは $- \frac{458752}{15}$ です。

$- \frac{458752}{15}$

ステップ 3.4

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ で代入して $8$ 求めた点は、 $(8, - \frac{458752}{15})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(8, - \frac{458752}{15})$

ステップ 3.5

$- 3$ を $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot {(- 3)}^{6} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

$- 3$ を $6$ 乗します。

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$f (- 3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$3$ を $729$ で因数分解します。

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (- 3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.3

$\frac{2}{5}$ と $243$ をまとめます。

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4

$2$ に $243$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.5

$- 3$ を $5$ 乗します。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.6

$- 1$ に $- 243$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.7

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

ステップ 3.5.2.1.8

$- 8$ に $81$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

ステップ 3.5.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$243$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

ステップ 3.5.2.2.2

$\frac{243}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

ステップ 3.5.2.2.3

$\frac{243}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

ステップ 3.5.2.2.4

$- 648$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

ステップ 3.5.2.2.5

$\frac{- 648}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.5.2.2.6

$\frac{- 648}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.5.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1

$243$ に $5$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.5.2.4.2

$- 648$ に $5$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

ステップ 3.5.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

$486$ と $1215$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

ステップ 3.5.2.5.2

$1701$ から $3240$ を引きます。

$f (- 3) = \frac{- 1539}{5}$

ステップ 3.5.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 3) = - \frac{1539}{5}$

ステップ 3.5.2.6

最終的な答えは $- \frac{1539}{5}$ です。

$- \frac{1539}{5}$

ステップ 3.6

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ で代入して $- 3$ 求めた点は、 $(- 3, - \frac{1539}{5})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3, - \frac{1539}{5})$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (8, - \frac{458752}{15}), (- 3, - \frac{1539}{5})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.1$ で置換えます。

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{4} - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $92.3521$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 3.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 \cdot - 29.791 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.4

$- 20$ に $- 29.791$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.5

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

ステップ 5.2.1.6

$- 96$ に $9.61$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$369.4084$ と $595.82$ をたし算します。

$f'' (- 3.1) = 965.2284 - 922.56$

ステップ 5.2.2.2

$965.2284$ から $922.56$ を引きます。

$f'' (- 3.1) = 42.6684$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $42.6684$ です。

$42.6684$

ステップ 5.3

$- 3.1$ で二次導関数は $42.6684$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 3)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 3, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.7.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.9

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.10

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.11

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.11.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.11.2

$4$ を $- 20$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 5) (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.11.3

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.11.4

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.11.5

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 5 (\frac{- 27}{2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.12

$- 5$ と $\frac{- 27}{2}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 5 \cdot - 27}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.13

$- 5$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.14

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.14.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

ステップ 6.2.1.14.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 6.2.1.15

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 6.2.1.16

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

ステップ 6.2.1.17

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

ステップ 6.2.1.18

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

ステップ 6.2.1.19

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.19.1

$4$ を $- 96$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

ステップ 6.2.1.19.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

ステップ 6.2.1.19.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

ステップ 6.2.1.20

$- 24$ に $9$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

ステップ 6.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\frac{135}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{135}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

ステップ 6.2.2.3

$- 216$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{- 216}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.2.2.5

$\frac{- 216}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$135$ に $2$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.4.2

$- 216$ に $4$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

ステップ 6.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$81$ と $270$ をたし算します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

ステップ 6.2.5.2

$351$ から $864$ を引きます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

ステップ 6.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $- \frac{513}{4}$ です。

$- \frac{513}{4}$

ステップ 6.3

$- \frac{3}{2}$ で二次導関数は $- 128.25$ です。これは負の値なので、 $(- 3, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 3, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 8)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

指数を足して $4$ に ${(4)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$4$ に ${(4)}^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

ステップ 7.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (4) = 4^{1 + 4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

ステップ 7.2.1.1.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (4) = 4^{5} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$4$ を $5$ 乗します。

$f'' (4) = 1024 - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = 1024 - 20 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$- 20$ に $64$ をかけます。

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 {(4)}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

ステップ 7.2.1.6

$- 96$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 1536$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$1024$ から $1280$ を引きます。

$f'' (4) = - 256 - 1536$

ステップ 7.2.2.2

$- 256$ から $1536$ を引きます。

$f'' (4) = - 1792$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 1792$ です。

$- 1792$

ステップ 7.3

$4$ で二次導関数は $- 1792$ です。これは負の値なので、 $(0, 8)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 8)$ で減少

ステップ 8

区間 $(8, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $8.1$ で置換えます。

$f'' (8.1) = 4 {(8.1)}^{4} - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$8.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (8.1) = 4 \cdot 4304.6721 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$4$ に $4304.6721$ をかけます。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$8.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 \cdot 531.441 - 96 {(8.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.4

$- 20$ に $531.441$ をかけます。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(8.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.5

$8.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

ステップ 8.2.1.6

$- 96$ に $65.61$ をかけます。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

ステップ 8.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$17218.6884$ から $10628.82$ を引きます。

$f'' (8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

ステップ 8.2.2.2

$6589.8684$ から $6298.56$ を引きます。

$f'' (8.1) = 291.3084$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $291.3084$ です。

$291.3084$

ステップ 8.3

$8.1$ で二次導関数は $291.3084$ です。これは正の値なので、 $(8, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(8, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$ です。

$(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例