微分積分例

$- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

ステップ 1

$- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- \frac{1}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{10} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.4

$- 5$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.5

$\frac{- 5}{10}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6

$- 5$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$5$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{4}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{3}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.4.3

$3$ に $- 12$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{4}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.5

$\frac{- 4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 2 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.3.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{2}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 (2 x)$

ステップ 2.2.4.3

$2$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ です。

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

ステップ 3.2.1.2

$- 2 x$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 72 x = 0$

ステップ 3.2.1.3

$- 2 x$ を $- 72 x$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

ステップ 3.2.1.4

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2}) - 2 x (12 x)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

ステップ 3.2.1.5

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x (36)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

ステップ 3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

ステップ 3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- 2 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$a = x$ と $b = 6$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

${(x + 6)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

${(x + 6)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 6)}^{2} = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について ${(x + 6)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 3.6

最終解は $- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 6$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- \frac{1}{10} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 (\frac{1}{10}) - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$0$ に $\frac{1}{10}$ をかけます。

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 6$ を $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot {(- 6)}^{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 6$ を $5$ 乗します。

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$- \frac{1}{10}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- 6) = \frac{- 1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

$2$ を $- 7776$ で因数分解します。

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (- 6) = \frac{- 1}{5} \cdot - 3888 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{- 1}{5}$ と $- 3888$ をまとめます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 1$ に $- 3888$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 6$ を $4$ 乗します。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 \cdot 1296 - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.6

$- 2$ に $1296$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 {(- 6)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.7

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 \cdot - 216$

ステップ 4.3.2.1.8

$- 12$ に $- 216$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 + 2592$

ステップ 4.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 2592$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} + 2592$

ステップ 4.3.2.2.2

$\frac{- 2592}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5} + 2592$

ステップ 4.3.2.2.3

$\frac{- 2592}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + 2592$

ステップ 4.3.2.2.4

$2592$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1}$

ステップ 4.3.2.2.5

$\frac{2592}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 4.3.2.2.6

$\frac{2592}{1}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592 \cdot 5}{5}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 6) = \frac{3888 - 2592 \cdot 5 + 2592 \cdot 5}{5}$

ステップ 4.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$- 2592$ に $5$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 2592 \cdot 5}{5}$

ステップ 4.3.2.4.2

$2592$ に $5$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 12960}{5}$

ステップ 4.3.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$3888$ から $12960$ を引きます。

$f (- 6) = \frac{- 9072 + 12960}{5}$

ステップ 4.3.2.5.2

$- 9072$ と $12960$ をたし算します。

$f (- 6) = \frac{3888}{5}$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $\frac{3888}{5}$ です。

$\frac{3888}{5}$

ステップ 4.4

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ で代入して $- 6$ 求めた点は、 $(- 6, \frac{3888}{5})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 6, \frac{3888}{5})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 6, \frac{3888}{5})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 6)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 6.1$ で置換えます。

$f'' (- 6.1) = - 2 {(- 6.1)}^{3} - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 6.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = - 2 \cdot - 226.981 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $- 226.981$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

ステップ 6.2.1.3

$- 6.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 \cdot 37.21 - 72 \cdot - 6.1$

ステップ 6.2.1.4

$- 24$ に $37.21$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 - 72 \cdot - 6.1$

ステップ 6.2.1.5

$- 72$ に $- 6.1$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 + 439.2$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$453.962$ から $893.04$ を引きます。

$f'' (- 6.1) = - 439.078 + 439.2$

ステップ 6.2.2.2

$- 439.078$ と $439.2$ をたし算します。

$f'' (- 6.1) = 0.122$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.122$ です。

$0.122$

ステップ 6.3

$- 6.1$ で二次導関数は $0.122$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 6)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 6)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 6, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{3} - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3) = - 2 \cdot - 27 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (- 3) = 54 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

ステップ 7.2.1.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = 54 - 24 \cdot 9 - 72 \cdot - 3$

ステップ 7.2.1.4

$- 24$ に $9$ をかけます。

$f'' (- 3) = 54 - 216 - 72 \cdot - 3$

ステップ 7.2.1.5

$- 72$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- 3) = 54 - 216 + 216$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$54$ から $216$ を引きます。

$f'' (- 3) = - 162 + 216$

ステップ 7.2.2.2

$- 162$ と $216$ をたし算します。

$f'' (- 3) = 54$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $54$ です。

$54$

ステップ 7.3

$- 3$ で二次導関数は $54$ です。これは正の値なので、 $(- 6, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 6, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = - 2 {(0.1)}^{3} - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = - 2 \cdot 0.001 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

ステップ 8.2.1.2

$- 2$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

ステップ 8.2.1.3

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 \cdot 0.01 - 72 \cdot 0.1$

ステップ 8.2.1.4

$- 24$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 72 \cdot 0.1$

ステップ 8.2.1.5

$- 72$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 7.2$

ステップ 8.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$- 0.002$ から $0.24$ を引きます。

$f'' (0.1) = - 0.242 - 7.2$

ステップ 8.2.2.2

$- 0.242$ から $7.2$ を引きます。

$f'' (0.1) = - 7.442$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 7.442$ です。

$- 7.442$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $- 7.442$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, 0)$ です。

$(0, 0)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例