微分積分例

$\int (e^{3 x} - 18 e^{- 4 x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int e^{3 x} - 18 e^{- 4 x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{3 x} d x + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

ステップ 3

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

ステップ 4

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

ステップ 6

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

ステップ 7

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $- 18$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 8

$u_{2} = - 4 x$ とします。次に $d u_{2} = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = - 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 8.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

ステップ 9.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 10

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

ステップ 11

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{4}$ と $18$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{18}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13.2

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (9)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{- 4 x} + C$

微分積分 例

微分積分例