微分積分例

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ を $\sec^{4} (x)$ に変換します。

$\int \sec^{4} (x) d x$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

ステップ 5.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 7.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 1 + u^{2} d u$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d u + \int u^{2} d u$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$u + C + \int u^{2} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 11

簡約します。

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

微分積分 例

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