微分積分例

$\frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

ステップ 1

$\frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 6

$u_{1} = 6 x$ とします。次に $d u_{1} = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{1} = 6 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 6.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 7

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 8

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 9.2

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 10

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

ステップ 11

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

ステップ 12

$u_{2} = 4 x$ とします。次に $d u_{2} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u_{2} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 12.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 12.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 13

$\sin (u_{2})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

ステップ 14

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{4}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 15.2

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 15.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 15.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 15.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 16

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

簡約します。

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

ステップ 17.2

簡約します。

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ステップ 17.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

ステップ 17.2.2

$\cos (u_{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

ステップ 18

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 18.1

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

ステップ 18.2

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

ステップ 19

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

微分積分 例

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