微分積分例

$f (x) = - x^{3} + 30 x^{2} + 63 x$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $- x^{3} + 30 x^{2} + 63 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [63 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [63 x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [63 x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [63 x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [63 x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x^{2}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [63 x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 30 (2 x) + \frac{d}{d x} [63 x]$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $30$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 60 x + \frac{d}{d x} [63 x]$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [63 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$63$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $63 x$ の微分係数は $63 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 60 x + 63 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 60 x + 63 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.4.3

$63$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 60 x + 63$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- 3 x^{2} + 60 x + 63$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [63]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [63]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [63]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [63]$

ステップ 1.1.2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 6 x + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [63]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [60 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 x + 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [63]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x + 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [63]$

ステップ 1.1.2.3.3

$60$ に $1$ をかけます。

$- 6 x + 60 + \frac{d}{d x} [63]$

ステップ 1.1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$63$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $63$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 x + 60 + 0$

ステップ 1.1.2.4.2

$- 6 x + 60$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 x + 60$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 6 x + 60$ です。

$- 6 x + 60$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x + 60 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x + 60 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $60$ を引きます。

$- 6 x = - 60$

ステップ 1.2.3

$- 6 x = - 60$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 6 x = - 60$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 60}{- 6}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 60}{- 6}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 60}{- 6}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 60$ を $- 6$ で割ります。

$x = 10$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 10) \cup (10, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 10)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 60$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 6$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 60$

ステップ 4.2.2

$0$ と $60$ をたし算します。

$f'' (0) = 60$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $60$ です。

$60$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, 10)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 10)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(10, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $12$ で置換えます。

$f'' (12) = - 6 \cdot 12 + 60$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 6$ に $12$ をかけます。

$f'' (12) = - 72 + 60$

ステップ 5.2.2

$- 72$ と $60$ をたし算します。

$f'' (12) = - 12$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 5.3

$f'' (12)$ が負なので、区間 $(10, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(10, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 10)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(10, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

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