微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{x - 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.6

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.7

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.8

$x$ が $4$ に近づくと定数である $13$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.9

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{4^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.9.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{4^{2} + 1} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 + 1} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.10.1.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{17} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.10.1.3

$4$ と $13$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{17} - \sqrt{17}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.10.2

$\sqrt{17}$ から $\sqrt{17}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + 1$ とします。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.11

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.13

$2$ と $\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.14

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.16

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.17

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 13}$ を ${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 13$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 13$ とします。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 13$ で置き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.4

総和則では、 $x + 13$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [13]))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.6

$13$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $13$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.13

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.14

$\frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.7

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x^{2} + 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4.2

${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x + 13}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}}{1}$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}}{1}$

ステップ 1.5.2

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{x^{2} + 1} \cdot 2 \sqrt{x + 13}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ に $\frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{\sqrt{x^{2} + 1} (2 \sqrt{x + 13})} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

ステップ 1.5.3.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

ステップ 1.5.3.3

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{x + 13} \sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

ステップ 1.5.3.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}}{1}$

ステップ 1.5.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}}{1}$

ステップ 1.6

$\frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 4} \frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 2 \sqrt{x + 13} - \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.3

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 2 \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.5

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.6

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.7

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.8

$x$ が $4$ に近づくと定数である $13$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.9

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.10

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.11

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.12

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.13

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{lim_{x \to 4} (x^{2} + 1) (x + 13)}}$

ステップ 2.14

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

ステップ 2.15

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{(lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

ステップ 2.16

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

ステップ 2.17

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

ステップ 2.18

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13)}}$

ステップ 2.19

$x$ が $4$ に近づくと定数である $13$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

ステップ 3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

ステップ 3.3

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

ステップ 3.4

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

ステップ 3.5

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

ステップ 4.1.2

$4$ と $13$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

ステップ 4.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \sqrt{17} - \sqrt{16 + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

ステップ 4.1.4

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \sqrt{17} - \sqrt{17}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

ステップ 4.1.5

$8 \sqrt{17}$ から $\sqrt{17}$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{(16 + 1) (4 + 13)}}$

ステップ 4.2.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17 (4 + 13)}}$

ステップ 4.2.3

$4$ と $13$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17 \cdot 17}}$

ステップ 4.2.4

$17$ に $17$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{289}}$

ステップ 4.2.5

$289$ を $17^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17^{2}}}$

ステップ 4.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{17}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{17}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{7 \sqrt{17}}{17}$ をかけます。

$\frac{7 \sqrt{17}}{2 \cdot 17}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $17$ をかけます。

$\frac{7 \sqrt{17}}{34}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{7 \sqrt{17}}{34}$

10進法形式：

$0.84887468 \dots$

微分積分 例

微分積分例