微分積分例

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ on $- 3$ , $1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.5

$\frac{12}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.6

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.4

$4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$4 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{2} - 4 + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$4 x^{2} - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{2} - 4$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{2} - 4$ です。

$4 x^{2} - 4$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{2} - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$4 x^{2} = 4$

ステップ 1.2.3

$4 x^{2} = 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$4 x^{2} = 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$4$ を $4$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

ステップ 1.4.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$- 4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

ステップ 1.4.1.2.2.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

ステップ 1.4.1.2.2.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.2.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$4$ から $12$ を引きます。

$\frac{- 8 + 3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.4.3

$- 8$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 5}{3}$

ステップ 1.4.1.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{3}$

ステップ 1.4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{4 {(- 1)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{4}{3} + 4 + 1$

ステップ 1.4.2.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} + 1$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 1$

ステップ 1.4.2.2.2.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

ステップ 1.4.2.2.2.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.2.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 + 4 \cdot 3 + 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.4.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 4 + 12 + 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.4.2

$- 4$ と $12$ をたし算します。

$\frac{8 + 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.4.3

$8$ と $3$ をたし算します。

$\frac{11}{3}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - \frac{5}{3}), (- 1, \frac{11}{3})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = - 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$\frac{4 {(- 3)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

${(- 3)}^{3}$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{4 {(- 1 (3))}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (3)$ に当てはめます。

$\frac{4 ({(- 1)}^{3} \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.4

$3$ を $4 (- 1 \cdot 3^{3})$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.5.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 (1)} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 \cdot 1} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{2})}{1} - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.4

$4 (- 1 \cdot 3^{2})$ を $1$ で割ります。

$4 (- 1 \cdot 3^{2}) - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$4 (- 1 \cdot 9) - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.3

$4 (- 1 \cdot 9)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$4 \cdot - 9 - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$4$ に $- 9$ をかけます。

$- 36 - 4 \cdot - 3 + 1$

ステップ 2.1.2.1.4

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$- 36 + 12 + 1$

ステップ 2.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 36$ と $12$ をたし算します。

$- 24 + 1$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 24$ と $1$ をたし算します。

$- 23$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

ステップ 2.2.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$- 4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

ステップ 2.2.2.2.2

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

ステップ 2.2.2.2.3

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

ステップ 2.2.2.2.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

ステップ 2.2.2.2.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.2.2.2.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 2.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

ステップ 2.2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.4.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

ステップ 2.2.2.4.2

$4$ から $12$ を引きます。

$\frac{- 8 + 3}{3}$

ステップ 2.2.2.4.3

$- 8$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 5}{3}$

ステップ 2.2.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{3}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3, - 23), (1, - \frac{5}{3})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 1, \frac{11}{3})$

最小値： $(- 3, - 23)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例