微分積分例

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

ステップ 1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

ステップ 2

$u = x^{8} + 9$ とします。次に $d u = 8 x^{7} d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{8} + 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{8} + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{8} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.3

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$8 x^{7} + 0$

ステップ 2.1.5

$8 x^{7}$ と $0$ をたし算します。

$8 x^{7}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

ステップ 3.2

$8$ を $u$ の左に移動させます。

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{8}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{8} + 9$ で置き換えます。

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$

微分積分 例

微分積分例