微分積分例

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{y}{3 y^{2} - x}$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 y^{2} - x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 y^{2} - x}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{3 y^{2} - x}$ を ${(3 y^{2} - x)}^{- 1}$ に書き換えます。

$y \frac{d}{d x} [{(3 y^{2} - x)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 3 y^{2} - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 y^{2} - x$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 y^{2} - x$ で置き換えます。

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 y^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 3.2

$3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y (1 {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5.2

${(3 y^{2} - x)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$y ({(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y ({(3 y^{2} - x)}^{- 2} \cdot 1)$

ステップ 3.7

${(3 y^{2} - x)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$y {(3 y^{2} - x)}^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y \frac{1}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 4.2

$y$ と $\frac{1}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

微分積分 例

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