微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x - 5}{x + 2} d x$

ステップ 1

$x^{2} - x - 5$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$5$

ステップ 1.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

ステップ 1.7

被除数 $- 3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$6$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x - 6$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$
							+	$1$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{1}^{2} x - 3 + \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 5

$u = x + 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 5.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = x + 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 2$

ステップ 5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 5.4

$u = x + 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 + 2$

ステップ 5.5

$2$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{3}^{4} \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

ステップ 7

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ と $- 3 x]_{1}^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

ステップ 8.2

$4$ および $3$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.4

$- 3$ に $2$ をかけます。

$2 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.5

$2$ から $6$ を引きます。

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.7

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.8

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.9

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.10

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.11

公分母の分子をまとめます。

$- 4 - \frac{1 - 3 \cdot 2}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.12

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.12.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- 4 - \frac{1 - 6}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.12.2

$1$ から $6$ を引きます。

$- 4 - \frac{- 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 - - \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 1 (\frac{5}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.15

$\frac{5}{2}$ に $1$ をかけます。

$- 4 + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.16

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.17

$- 4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.19

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.19.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 8 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.19.2

$- 8$ と $5$ をたし算します。

$\frac{- 3}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 8.3.20

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2} + \ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)$

ステップ 9

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{| 3 |})$

ステップ 10.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

10進法形式：

$- 1.21231792 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例