微分積分例

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

ステップ 1

${(2 + e^{3 x})}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(2 + e^{3 x})}^{2}$ を $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ に書き換えます。

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

ステップ 4.3.1.2

$2$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

ステップ 4.3.1.3

指数を足して $e^{3 x}$ に $e^{3 x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

ステップ 4.3.1.3.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

ステップ 4.3.2

$2 e^{3 x}$ と $2 e^{3 x}$ をたし算します。

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

ステップ 7

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

ステップ 8

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 8.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 8.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

ステップ 9

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

ステップ 11

$\frac{1}{3}$ と $4$ をまとめます。

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

ステップ 12

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

ステップ 13

$u_{2} = 6 x$ とします。次に $d u_{2} = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.1

$u_{2} = 6 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 13.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 13.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 13.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 13.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

ステップ 14

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

ステップ 15

$\frac{1}{6}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 16

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 17

簡約します。

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

ステップ 18

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 18.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

ステップ 18.2

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

ステップ 19

答えは関数 $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

微分積分 例

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