微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$t$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

ステップ 5.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ を $- t^{- 1}$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

ステップ 5.3.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ を $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

ステップ 5.3.4

$- (t^{- 1} - 1)$ を $- 1 (t^{- 1} - 1)$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

ステップ 5.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

ステップ 6.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 6.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{t}$ は $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 6.6

極限を求めます。

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ステップ 6.6.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 6.6.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.6.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

ステップ 6.6.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 6.6.2.3

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.6.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.6.2.3.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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