微分積分例

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

ステップ 1

総和則では、 $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2 e^{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y e^{x}$ の微分係数は $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

ステップ 2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y \cos (2 x y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ です。

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

ステップ 3.2

$f (y) = y$ および $g (y) = \cos (2 x y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.3

$f (y) = \cos (y)$ および $g (y) = 2 x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x y$ とします。

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x y$ で置き換えます。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.4

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

ステップ 3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

ステップ 3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

ステップ 3.9

$\cos (2 x y)$ に $1$ をかけます。

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

ステップ 4.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$

微分積分 例

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