微分積分例

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

ステップ 1

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

ステップ 4

積の法則を $\frac{x^{2} + 1}{x}$ に当てはめます。

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

ステップ 5

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 6

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 7

${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

ステップ 7.5

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

ステップ 7.6

分配則を当てはめます。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

ステップ 7.7

分配則を当てはめます。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.8

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.10

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.12

$4$ から $2$ を引きます。

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.13

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.15

$2$ から $2$ を引きます。

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.16

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.17

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.19

$2$ から $2$ を引きます。

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.20

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.21

$1$ に $1$ をかけます。

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 7.22

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

ステップ 7.23

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

ステップ 7.24

$2$ と $x^{- 2}$ を並べ替えます。

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

簡約します。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

ステップ 12.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

微分積分 例

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