微分積分例

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.5

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.6

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

ステップ 1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

ステップ 1.2.5.2

不要な括弧を削除します。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

ステップ 1.2.5.3

項を並べ替えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

ステップ 1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

方程式の両辺から $2 y^{2} x$ を引きます。

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

ステップ 1.5.1.2

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

ステップ 1.5.1.3

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

ステップ 1.5.2

$2 x y'$ を $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$2 x y'$ を $2 x^{2} y y'$ で因数分解します。

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

ステップ 1.5.2.2

$2 x y'$ を $- 2 x y'$ で因数分解します。

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

ステップ 1.5.2.3

$2 x y'$ を $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

ステップ 1.5.3

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ の各項を $2 x (x y - 1)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ の各項を $2 x (x y - 1)$ で割ります。

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.2.3

$x y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.1.1

$2$ を $- 2 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.1.2.1

$2$ を $2 x (x y - 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.4.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.4.2.1

$2$ を $2 x (x y - 1)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.5.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.7.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.1.7.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.3

$\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x y - 1) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.4.1

$\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.4.2

$(x y - 1) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.6.1

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.6.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.7

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.7.1

$- 1$ を $- y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.7.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.7.3

$- 1$ を $- (y^{2} x) - (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.7.4

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.7.5

$- 1$ を $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.7.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.7.6.1

$- (y^{2} x + x - y)$ を $- 1 (y^{2} x + x - y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.5.3.3.7.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

ステップ 1.7

$y = 0$ と $x = 1$ における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{y^{2} (1) + 1 - y}{(1) ((1) \cdot y - 1)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $0$ で置換えます。

$- \frac{{(0)}^{2} (1) + 1 - (0)}{(1) ((1) \cdot (0) - 1)}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{0 \cdot 1 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

ステップ 1.7.3.2

$0$ に $1$ をかけます。

$- \frac{0 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

ステップ 1.7.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{0 + 1 + 0}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

ステップ 1.7.3.4

$0 + 1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{0 + 1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

ステップ 1.7.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

ステップ 1.7.4

$(1) \cdot (0) - 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{(1) \cdot (0) - 1}$

ステップ 1.7.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$0$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{0 - 1}$

ステップ 1.7.5.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.7.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- - 1$

ステップ 1.7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $1$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$y = x - 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例