微分積分例

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{8 (x^{4} - 9)}{x^{2} - 3}$

ステップ 1

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $- \sqrt{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $- \sqrt{3}$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $- \sqrt{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \frac{{(- \sqrt{3})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$8 \frac{{(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$8 \frac{1 {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

${\sqrt{3}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{{\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$8 \frac{3^{\frac{4}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$8 \frac{3^{\frac{2}{1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.4.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$8 \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$8 \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.1.6

$- 1$ に $9$ をかけます。

$8 \frac{9 - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $- \sqrt{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

ステップ 2.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

ステップ 2.1.3.1.3

$x$ が $- \sqrt{3}$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $- \sqrt{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \frac{0}{{(- \sqrt{3})}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$8 \frac{0}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$8 \frac{0}{1 {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{0}{{\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 \frac{0}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \frac{0}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$8 \frac{0}{3^{1} - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.4.5

指数を求めます。

$8 \frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.3.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$8 \frac{0}{3 - 3}$

ステップ 2.1.3.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$8 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$8 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$8 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$8 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3} = lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{4} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

ステップ 2.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

ステップ 2.3.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

ステップ 2.3.5

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 2.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 2.3.8

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + 0}$

ステップ 2.3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x}$

ステップ 2.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

ステップ 2.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 (x)}$

ステップ 2.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

ステップ 2.4.1.2.3

式を書き換えます。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{3}}{x}$

ステップ 2.4.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x^{1}}$

ステップ 2.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.2.4

式を書き換えます。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{2}}{1}$

ステップ 2.4.2.2.5

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} 2 x^{2}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$8 \cdot 2 lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2}$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$8 \cdot 2 {(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2}$

ステップ 4

$x$ を $- \sqrt{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \cdot 2 {(- \sqrt{3})}^{2}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$8$ に $2$ をかけます。

$16 {(- \sqrt{3})}^{2}$

ステップ 5.2

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$16 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

ステップ 5.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$16 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

ステップ 5.4

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$16 {\sqrt{3}}^{2}$

ステップ 5.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 5.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 5.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

共通因数を約分します。

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.5.4.2

式を書き換えます。

$16 \cdot 3^{1}$

ステップ 5.5.5

指数を求めます。

$16 \cdot 3$

ステップ 5.6

$16$ に $3$ をかけます。

$48$

微分積分 例

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