微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \cot (- \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

ステップ 1

余接が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cot (lim_{x \to \frac{π}{3}} - \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

ステップ 2

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\cot (- lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

ステップ 3

$\frac{2 \sqrt{3}}{π}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

ステップ 4

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

ステップ 5

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づくと定数である $\frac{π}{4}$ の極限値を求めます。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

ステップ 6

すべての $x$ に $\frac{π}{3}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

ステップ 6.2

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1.1

共通因数を約分します。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.1.2

式を書き換えます。

$\cot (- (2 \sqrt{3} \frac{1}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (- (\frac{2}{3} \sqrt{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.3

$\frac{2}{3}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.4

$\csc (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.5

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.1.6.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.6.4.2

式を書き換えます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.1.6.6.5

指数を求めます。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{π}{4})$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\cot (\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- π}{4})$

ステップ 7.3

$- 2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\cot (\frac{0}{3} + \frac{- π}{4})$

ステップ 7.4

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$0$ を $3$ で割ります。

$\cot (0 + \frac{- π}{4})$

ステップ 7.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\cot (0 - \frac{π}{4})$

ステップ 7.5

$0$ から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$\cot (- \frac{π}{4})$

ステップ 7.6

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\cot (\frac{7 π}{4})$

ステップ 7.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余割は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \cot (\frac{π}{4})$

ステップ 7.8

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

微分積分 例

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